勘定科目ディメンション内に複数の「その他」メンバが存在しています。
どの科目の「その他」か区別できるように親メンバ名を取得する方法はありますか。

例）勘定科目ディメンション
　　広告宣伝費
　　　├ 販売促進
　　　└ その他　　←ひとつ上の階層の科目名称（「広告宣伝費」）を取得したい

現在のところ、メンバの親メンバを取得する直接的な方法はございません。

その上での回答となりますが、帳票上でどの科目グループの配下の「その他」かわかるようにする目的であれば、それぞれの科目グループ配下の「その他」のメンバの名称をわかりやすく変更する方法が考えられます。

例）
　　広告宣伝費
　　　├ 販売促進
　　　└ 広告宣伝費その他

　　xxx費
　　　├ xxx
　　　└ xxx費その他

他に親メンバ名を取得するには ancestor メソッドを使った方法も考えられます。
これは指定したツリーの中において、自メンバ含む上位メンバから特定プロパティ値を持つメンバを取得するメソッドです。

メソッドの詳細はユーザマニュアルの下記項目をご参照ください。